Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver

Report 2015/61

Steinar Strøm, Michael Hoel og Pernille Parmer

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver

Category	Reports
Sub-Categories	Statistics and Empirical AnalysisOil and gasPower and energy
Year	2015
Report Number	61
Author(s)	Steinar Strøm Michael Hoel Pernille Parmer
Download	file_download (751.7 kB)
Read in browser	PDF

RAPPORT	 	
2015/61	 	
 	
Økonomiske parametere og 	
forventete verdier av 	
petroleumsressurser og reserver 	 
 	Steinar Strøm, 	Michael Hoel og Pernille Parmer	 	
VISTA ANALYSE AS
 	
 	
Oljedirektoratet

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
 	
Dokumentdetaljer	 	 	
Vista Analyse AS	 	Rapport nummer 	2015/61	 	
Rapporttittel 	 	Økonomiske parametere og forventete verdier av 
petroleumsressurser og reserver 	 	
ISBN	 	978	-82	-8126	-257	-7 	
Forfatter	 	Steinar Strøm, Michael 	Hoel og Pernille Parmer	 	
Dato for ferdigstilling 	 	29.09.2015	 	
Prosjektleder	 	Steinar Strøm	 	
Kvalitetssikrer	 	Michael Hoel	 	
Oppdragsgiver	 	Oljedirektoratet	 	
Tilgjengelighet	 	Offentlig	 	
Publisert 	 	www.vista	-analyse.no

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	1	
 	 	
Forord	 	
Denne rapporten er basert på et oppdrag fra Oljedirektoratet. Den viser hvordan en kan 
lage anslag på forventet verdi av økono	misk utnyttbare olje	-og gassreserver. Anslaget 	
er betinget av at reservene er økonomisk utnyttbare. Den betingete forventningen av 
økonomisk utnyttbare reserver avhenger av olje	- og gasspriser, utvinningskostnader og 	
geologiske parametre. 	 	
 
 
Prosjektleder	 	
Steinar Strøm	 	
Vista Analyse AS

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	3	
 	 	
Innhold	 	
Forord	 ................................	................................	................................	.........................	 1 	
1. 	Innledning	 ................................	................................	................................	............	 7 	
2. 	Oljeressurser og utvinnbare oljereserver	 ................................	..........................	 8 	
3. 	Forventet verdi av initiale oljeressurser	 ................................	............................	 9 	
4. 	Optimal økonomisk 	utnytting av petroleumsressurser: En beslutning under 	
usikkerhet	 ................................	................................	................................	..................	11	 	
5. 	Gjenværende oljeressurser etter avsluttet utvinning	................................	.......	13	 	
6. 	Minste økonomisk mengde	 ................................	................................	................	14	 	
7. 	Optimumsbetingelsen for optimal utnytting	 ................................	.....................	15	 	
8. 	Utvunnet mengde av ressursen og produksjonsperiodens lengde	 ................	17	 	
9. 	Forventet verdi av oljeres	sursene, gitt en optimal utvinningsplan	 .................	18	 	
10.	 Forventete verdier av de utvinnbare reservene	 ................................	................	20	 	
11.	 Utvidelser av analysen	 ................................	................................	.......................	23	 	
Vedlegg 1. Forventningen og variansen til 	R0 ................................	.........................	24	 	
Vedlegg 2. Den betingete forventingen	 ................................	................................	...25

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	5

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	7	
 	 	
1.	 Innledning	 	
I en kalkyle av samfunnsøkonomisk utnytting av naturressurser	 må en ta stilling til 	
hvordan en skal håndtere usikkerhet.	 Vi skiller mellom systematisk og usystematisk 	
risiko. Det er anbefalt av Finansdepartementet å representere alle usikre størrelser med 
forventete verdier	 i samfunnsøkonomiske analyser. For den systematiske risikoen er det 	
vanlig å ta hensyn til denne risik	oen gjennom størrelsen på renten brukt til ned	-	
diskontering av fremtidige verdier i prosjektet. 	 	
Usikkerheten kan være knyttet til flere forhold som:	 	
- 	De initiale olje	- og gassressursene i et felt	 	
- 	Usikkerhet knyttet til de utvinnbare ressursene størrelse et	terhvert som en 	
utvinner ressursen; gode og dårlige nyheter etterhvert som ressursene utvinnes	 	
- 	Fremtidige olje	- og gasspriser	 	
- 	Kostnadene ved å utvinne 	reservene	. Reservene er de initiale ressursene 	
fratrukket det som blir igjen av ressursene etter at produ	ksjonen er avsluttet	 	
I det følgende skal vi kun se på usikkerhet knyttet til oljeressurser og utvinnbare reserver. 
Vi viser hva den forventede verdien av initiale ressurser er og deretter hva den 
forventede verdien er, gitt en optimal utvinningsplan. Vi v	iser også hva den betingete og 	
ubetingete forventingen er av de utvinnbare reservene.

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
8 	 	Vista Analyse	 	
2.	 Oljeressurser og 	utvinnbare	 oljereserver	 	
I fortsettelsen vil vi anta at det er kun tale om oljeressurser. Opplegget vårt kan lett 
utvides til å omfatte både olje	- og gass	ressurser. Oljeressurser er de ressursene som 	
finnes i et felt. Disse ressursene kan i prinsippet utvinnes, men det normale er at etter 
utvinningen er fullført vil det være gjenværende ressurser i feltet. Hvor mye som vil være 
igjen, vil avhenge av geologi	ske forhold, kostnadene ved å utvinne ressursene og 	
oljeprisene.	 	
De utvinnbare oljereservene er de oljeressurser som det kan lønne seg å utvinne, gitt 
forventede kostnader og priser.

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	9	
 	 	
3.	 Forventet verdi av initiale oljeressurser 	 	
Anta at de initiale oljeress	ursene ikke er helt eksakt kjent. En kjenner bare til 	
sannsynlighetsfordelingen for de initiale ressursene. Denne fordelingen vil normalt være 
skjev til høyre slik at det er en positiv sannsynlighet, om enn liten, for store ressurser. 	 	
La de initiale oljer	essursene, 	R0, være	 uttrykt i en volumstørrelse. Et eksempel på en 	
høyreskjev fordeling er en log	-normal fordeling, det vil si:	 	
 	
Her er 	 forventningen til 	log R	0 og 	 er variansen til 	log R	0. Begge parameterne er 	
bestemt av geologiske forhold.	 	
Forventningen og variansen	1 til ressursene da gitt ved	 	
 . 	
Vi merker oss at skjevheten i fordelingen uttrykt ved 	påvirker den 	forventete verdien 	
av de initiale ressursene. Jo større skjevheten er, desto høyere er den forventete verdien 
av ressursene. Videre ser vi at variansen er høyere, desto høyere forventningen er.	 	
 Figuren nedenfor viser to eksempler på en log	-normalt fordel	t variabel. Vi ser at jo 	
høyere 	er, desto høyere er den forventete verdien både i forhold til median og mode. 	
Som nevnt ovenfor vil det være riktig å benytte forventete verdier av de stokastiske 
størrelser i samfunnsøkonomiske analyser av olje	- og gassprosjekter. 	 	
 
 
 	 	 	
1 Se Vedlegg 1	 0 20 						
20	2	0	0	2	2	0 0	21	u	( ) E R e ,var R ( e )E R		  	
	 20 20

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
10	 	 	Vista Analyse	 	
 	
 
Et hovedpoeng i d	et følgende er å vise at den forventete verdien av de initiale 	
ressursene, gitt en økonomisk optimal utnyttingsplan, er større enn den ubetingete 
forventete av de initiale oljeressursene. Vi skal senere også vise hva den forventete 
verdien av reservene er,	 gitt en optimal økonomisk utnyttingsplan.

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	11	
 	 	
4.	 Optimal økonomisk utnytting av 
petroleumsressurser: En beslutning under 
usikkerhet	 	
Et 	supplement til at de initiale og samlete ressursene er usikre, er at de fremtidige 	
ressursene er antatt å være stokastiske ett	erhvert som ressursene utvinnes. 	 	
La 	qt være produksjonen på tidspunkt 	t. Vi antar at ressursene avtar over tid med 	
produksjonen, men at det i tillegg er et stokastisk ledd. Dette leddet kan skyldes mer 
informasjon, både gode og dårlige nyheter, en får om 	de ressursene etterhvert som 	
produksjonen går sin gang. På et gitt tidspunkt er de fremtidige ressursene sett fra dette 
tidspunktet usikre. En mulig beskrivelse av denne usikkerheten er den følgende 
stokastiske prosessen:	 
 	
Vi 	antar at 	er normal fordelt, ukorrelert over tid, med forventing null og varians lik 1. 	
Forutsetningen om 	dz	 betyr at den stokastiske prosessen som er med å gi utviklingen i 	
ressursene over tid, er en Wiener prosess. 	 	
Vi skal nå se	 nærmere på hvordan en optimal økonomisk utnytting av ressursene kan 	
beskrives	1. 	
La 	pt være 	prisen	 på produktet (f.eks. oljepris). For å forenkle fremstillingen antar vi at 	
prisen er konstant over tid og kjent med sikkerhet, dvs at 	 . 	
 La 	C(R	t,qt) være 	enhetskostnaden	 for produksjon av produktet. Denne kostnaden kan 	
omfatte både investeringskostnader og driftskostnader. Vi antar at denne 
enhetskostnaden avhenger av ressursene slik at jo lavere ressursmengden er, som den 
kan bli o	ver tid gjennom utnyttingen av den, desto høyere er kostnaden. For gitt 	
produksjonsrate vil derfor enhetskostnaden stige over tid som følge av 
ressursuttømmingen. Fra et gitt tidspunkt vil de fremtidige enhetskostnadene være 
usikre, gitt at usikkerheten er	 av typen beskrevet i (3). 	 	
For å gjøre det enkelt antar vi at enhetskostnadsfunksjonen er lineær:	 	
 	
Denne forenklingen gjør analysen nedenfor enklere, uten at prinsipielle poenger blir 
svekket.	 	
Det at 	a1 er positiv gjør at enhet	skostnaden øker, desto mindre det er igjen av ressursen. 	 	
Vi skal først se på tilfellet med 	, og deretter spesialtilfellet 	. I dette siste 	
spesialtilfellet er altså enhetskostnaden uavhengig av 	produksjonsmengden.	 	
 	 	 	
1 For en tidlig analyse av utvinning av ikke	-fornybare ressurser under usikkerhet se R.S. Pindyck 	
(1980): Uncertainty and Exhaustible Resource Markets, 	Journal of Political 	Economy	, Vol 88, No 	
6, 1203	-1225.	 11	
3	tt	
t	
( ) dR q dt dz
hvor dz dt	
  
 1t tp p for alle t	 1 2 1 2	4 0	t t o t t	( ) C( R ,q ) a a R a q ;(a ,a ) ; a	     2	0	a	 2	0	a	

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
12	 	 	Vista Analyse	 	
La 	r være renten (etter skatt) som brukes ved ned	-diskontering av fremtidige verdier. 	
Denne renten er det avkastningskrav eieren av ressursen har. Initialt er produsentens 
problem å finne et produksjonsnivå	 qt i tiden fremover som er sl	ik at forventet 	
neddiskontert profitt maksimeres.	 	
Vi kan nå mer formelt beskrive produsentens optimeringsproblem:	 	
 	
Optimeringsproblemet er den plan som produsenten legger ved produksjonsstart, men i 
denne planen tar han hensyn ti	l at det på fremtidige tidspunkt kan komme overraskelser 	
som beskrevet ved den stokastiske komponenten i (3). 	 	
I utregningen av optimumsbetingelsen har vi antatt at 	R0 er gitt og kjent. Senere skal vi 	
ta hensyn til at den er usikker og med forventning gitt	 i (1) ovenfor.	 	
I ulikheten (7) er 	 maksimal produksjon bestemt av kapasitetsforhold. Hvis denne er 	
tilstrekkelig stor og 	, vil denne kapasitetsskranken aldri være bindende.	 	
Optimeringsproblemet er et sto	kastisk	- dynamisk optimeringsproblem. Stokastikken 	
kommer fra betingelsen (3) og er som nevnt av den typen at det det oppstår gode og 
dårlige ressursnyheter etterhvert som produksjonen pågår. Etterhvert som produksjonen 
foregår blir denne usikkerheten kjen	t, men den fremtidige usikkerheten vil være der. 	
Modellen kan utvides til å inkludere investeringer over tid i feltet som gjør at denne 
fremtidige usikkerheten blir mindre. 	 	
Dynamikken kommer fra bibetingelsen (3) som sier at ressursmengden avtar som følge 
av at olje produseres. Betingelsen (6) innebærer at enhetskostnaden øker etterhvert som 
produksjonen skrider frem. Merk at på tidspunkt 	t er ressursene kjente, men fremtidige 	
utvinningskostnader er usikre som følge av (3). Betingelsen (8) sier at produksjonen 
opphører når marginalkostnaden ved null produksjon 	 er lik prisen 	p. 	
T 	er tidspunktet da utvinningen opph	ører. På grunn av usikkerheten beskrevet i (3) er 	
dette tidspunktet i prinsippet stokastisk. Tidspunktet 	T er også endogent i den forstand 	
at det er bestemt av økonomiske mekanismer. 	 		
0	
11	
1 2 1 2 0	
1	
5
3
6 0
70
8 0	
T	rt	q o t t t
t	
t	
t t o t t t
t	
T o T	
( ) max E p C( R ,q ) q e dt
gitt
( ) dR qdt dz
hvor dz dt
( ) C( R ,q ) a a R a q ;(a ,a ) ; a , R , R er gitt og kjent
( ) q q
( ) p C( R , ) p a a R	
		
  
	
     	

    	
	
 q 2	0	a	 0	T	C( R , )

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	13	
 	 	
5.	 Gjenværende oljeressurser etter avsluttet 
utvinning	 	
Vi ser fra (8) at r	essursene som er igjen ved produksjonsslutt, 	RT, er	 	
 	
Hvis 	vil ressursene bli helt tømt. Et slikt utfall virker usannsynlig, og i fortsettelsen 	
antar vi at (9) er oppfylt. Det betyr at det vil være gjenv	ærende ressurser ved 	
produksjonsslutt.	 	
 0	0	1	
90	T	
ap	( ) R , hvis a p	a
	   0ap	

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
14	 	 	Vista Analyse	 	
6.	 Minste økonomisk mengde	 	
Ressursmengden i (9) kan også tolkes som 	minste 	økonomisk 	mengde av ressursen, 	
RMØM	, dvs 	 	
 	
Fordi vi utelukker at	, vil 	alltid være positiv.	 	
Vi ser at den minste økonomiske mengden av ressursen, 	, er lavere	 	
- 	Jo høyere prisen 	p er 	
- 	Jo mer enhetskostnaden stiger når ressursen tømmes, dvs jo høyere 	er 	 	
RMØM	 er den ressursm	engden som gjør at enhetskostnaden er akkurat lik prisen. Blir 	
prisen høyere, må denne ressursmengden minke, slik at kostnaden går opp. 	 	
 0
1	
10 0	MØM	
ap	( ) R	a
	 0ap	 MØMR MØMR 1a

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	15	
 	 	
7.	 Optimumsbetingelsen for optimal utnytting	 	
Førsteordensbetingelsen til optimeringsproblemet (5) 	– (8) er en stokastisk versjon av 	
den såkalte Euler	-likningen. Dette viser vi nedenfor. 	 	
La 	 	
 	
er den neddiskonterte profitten i (5) sett fra produksjon	sstart, dvs 	t=0	, mens 	
er profitten på tidspunkt 	t sett fra tidspunkt 	t=0	. 	
Dersom 	qt kan velges fritt, er optimumsløsningen for produksjonsplanen 	qt den verdien 	
som maksimerer	1 	
 	
Vi får da	 	
 	
Likning, eventuelt ulikheten, (14) er den omtalte Euler	- likningen.	 	
Venstresiden i (14) er den marginale verdien av løpende profitt på tidspunkt 	t. På 	t er 	
ressursene inntil dette tidspunktet kjent, de fremtidige verdiene er usikre. Høyresiden gir 
den forventete neddiskonterte verdien av å holde en enhet tilbake i reservoarene og 
dermed redusere fremtidige forventete produksjonskostnader.	 	
 Likning (14) si	er da at den optimale produksjonsplanen for 	qt er kjennetegnet ved at på 	
hvert fremtidig tidspunkt er den marginale profitten (økningen i profitt ved å øke 
produksjonen med «en enhet») større eller lik den forventete neddiskonterte verdien av 
å holde denne	 marginale enheten i reservoaret (som da vil gi lavere utvinningskostnader 	
i fremtiden). 	 	
Høyresiden i (14) er dermed en alternativkostnad. Alternativet til å produsere en ekstra 
enhet på tidspunkt 	t er å la enheten være igjen i reservoaret og dermed bidra	 til at 	
fremtidige enhetskostnader blir lavere. Dersom produksjon på hvert tidspunkt kan 
velges fritt og kapasitetsskranken ikke er bindende, vil (14) gjelde med likhet.	 	
 	 	 	
1 Se P. Berck og K. Sydsæter: Matematisk formelsamling for økonomer, Universitetsforlaget 
1995, side 141	 		
		
00	
0	
11
12	
T	rt	q t t t	
rt	t t t t t	
( ) V(R ) max E p C( R ,q ) q e dt
( ) ( R ,q ) p C( R ,q ) q e		
	
	
	
	
 0	V(R ) tt	( R ,q ) 13	t	q t t t	t	
V ( R )	( ) Max ( ( R ,q ) q )	R				 14	
0	
T	r	t t t t	t	t	t	
Tt	
( R ,q ) ( R ,q )e	( ) E d	qR	
T er bestemt ved p C( R ) .Ulikhetstegnet vil bare	gjelde hvis q q	
	
	
		
				
  	


Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
16	 	 	Vista Analyse	 	
Dersom enhetskostnaden er uavhengig av produksjonen, dvs. 	, er profitten en 	
lineær funksjon av 	qt, og hvor variasjonsområdet for produksjonen er gitt i (7). Fra (6), 	
(12) og (14) får vi da:	 	
 	
 	
Forenklingen i (5) med 	 , gjør at forventingsuttrykket til høyre i (15)	 kan skrives	 	
 	
På grunn av forutsetningen om at enhetskostnaden er lineær i	, R	t, inngår ikke 	Rt i 	
integranden i (16). Dermed reduseres problemet til et deterministisk problem. Dersom 
enhetskostnaden ikke hadde vært lineær i 	Rt, ville dette ikke vært tilfelle. 	 	
Optimumsbetingelsen kan derfor i vår noe forenklede modell skrives:	 	
 	 	
 2	0	a	 		15 0	
T	r	rt	tt	t t t	
t	
( R ,q )e	( ) Hvis p C( R ) e E d ,er q q ,ellers lik	R	
	
	
		
			   		 2	0	a	 		1	1	
0 1 1	
16 0	
0	
r	T T T	r	r rt rT	tt	t t tt t t	
T T MØM	
p C( R ) qe	( R ,q )e	aq	( ) E d E d a qE e d (e e ) , for t T	R R r	
og hvor T er bestemt ved p C( R ) p a a R p a a R	
				
	
	  	
		  			     		
       	
   		1	01	
0 1 1	
17 1 0	
0	
r ( T t )	t	
T T MØM	
aq	( ) Hvis p a a R ( e ) ,er q q ,ellers lik	r	
og hvor T er bestemt ved p C( R ) p a a R p a a R .	
	      	
       

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	17	
 	 	
8.	 Utvunnet mengde av ressursen og 
produksjonsperiodens lengde	 	
Gitt at (17) er oppfylt, vil den totale produserte mengden over 	perioden 	(0,T)	 være gitt 	
ved differansen mellom mengden av de initiale ressursene og de ressurser som er 
gjenværende ved produksjonsslutt:	 	
 	
Det betyr at den optimale produksjonsperiodens lengde, 	T, er 	 	
 	
Den optimale lengden på produksjonsperioden er dermed lengre 	 	
- 	Jo større de initiale ressursene er	 	
- 	Jo lavere minste økonomisk mengde er (som skyldes høyere produktpris 
og/eller høyere a	1) 	
- 	Jo lavere den maksimale produksjonen er.	 	
Merk at en høyere 	øker alternativkostnaden i produksjonen og er forklaringen på at 	
levetiden øker med høyere 	. 	
Initialt gir betingelsen (17) at	 	
 	
Fra (10), (19) og (20) får vi da følgende krav til s	tørrelsen på de initiale og samlete 	
ressursene:	 	
 	
Vi ser fra (19) at 	følger av at	 	
 	
Denne ulikheten er oppfylt for 	T>0	. 	
Med de forenklinger vi har foretatt, får vi da: 	 	
Hvis de initiale og samlete ressursene 	R0 er større enn minste økonomiske mengde 	
RMØM	, så vil det være samfunnsøkonomisk optimalt med et produksjonsprogram 	 	
inntil 	, deretter 	. 00	
0	
18	
T	
T MØM	( ) R R R R qdt qT	    	 0	19	MØM	RR	( ) T	q
	 1a 1a 		1	0 1 0	20 1 0	rT	aq	( ) Hvis p a a R ( e ) ,er q q ,ellers lik	r	
	       0	21 1	
o MØMRR	r	q	MØM	
q	( ) R R ( e )	r	
		
   0	MØM	RR	 22 1	rT	( ) rT e		 tqq	 tT 0	tq	

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
18	 	 	Vista Analyse	 	
9.	 Forventet verdi av oljeres	sursene	, gitt en 	
optimal utvinningsplan	 	
 Den optimale produksjonsplanen beskrevet ovenfor innebærer i følge (21) at de initiale 
ressursene minst må være større enn minste økonomisk mengde. Vi tar nå hensyn til at 
de initiale ressu	rsene er usikre og med en ubetinget forventning gitt i (2). Det vi skal 	
utlede nå er den betingete forventingen av de initiale ressursene, betinget av at de initiale 
ressursene 	er større enn minste økonomisk mengde 	. 	
Den betingete forventningen er 	 	
. 	
Den kan regnes ut ved følgende formel:	 	
 	
Venstresiden i (24) er den betingete forventningen vi er ute etter multiplisert med 
sannsynligheten for betingingen. Høyresiden er den ubetingete forventete verdien i 
halefordelingen til 	 som starter i 	Fu	nksjonen 	g(.)	 er tettheten i fordelingen til	
. 
 Utledningene av de forskjellige uttrykkene er gitt i Vedlegg 2. Resultatet er:	 	
 	
Her er 	den kumulative fordelingsfunksjonen i standa	rd normalfordelingen. 	 	
 	er halesannsynligheten i denne standard normalfordelingen 	
som starter i 	, 	
mens 	er halesannsynligheten i standard normalfordelingen og 	
som starter lenger ute enn den første halesannsynligheten. Ifølge (2) er 	 	
 
Fra (24)	-(26) får vi da:	 0R MØMR 		00	23	MØM	( ) E R | R R	 		
0	
0 0	24	
MØM	
MØM MØM	RR	
( ) E R | R R Pr( R R ) R g( R )dR	

	
  	 0R MØMR 0R 		
0	0	00	
0	0 0	00	
25 1
26 1	
MØM	
MØM	MØM	
MØM	o	RR	
logR	( ) P( R R ) ( )	
logR	( ) R g( R )dR E R ( )	
			
			

	
   	
	   		  0	0	00	
1	MØM	logR()	  			 0	0	00
MØM	logR			 0	
00	
1	MØM	logR()				 		
20	0	2	0	
u	E R e .	
	

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	19	
 	 	
 	
Brøken til høyre i (27) er større enn 1.	 	
Vi har 	da at 	 	
 	
Den betingete forventningen av de samlete ressursene 	R0, betinget på en optimal plan 	
for en økonomisk utnytting av ressursen, er med andre ord større enn den ubetingete 
betingete forventningen, som vist på figuren nedenfor	. Figuren viser den trunkerte 	
fordelingen til 	R0, gitt at 	R0>R	MØM	. 	
Fra (25) ser vi at jo høyere 	er, desto høyere er den betingete forventningen i forhold 	
til den ubetingete. Det betyr at jo mer høyreskjev ressursfordelingen er, desto høyere blir 
den betingete forventingen av de samlete ressursene, betinget på en optimal økonomisk 
utvinning av ressurs	ene, i forhold til den ubetingete forventningen. 	 				
0	0	00	0 0	
0	
00	
1	
27	
1	
MØM	
MØM	
MØM	
logR()	
( ) E R | R R E R	
logR()	
			
			
	  					 				0 0	28	MØM	( ) E R | R R E R	 0

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
20	 	 	Vista Analyse	 	
10.	 	Forventete ver	dier av de utvinnbare reservene	 	
Reservene som blir utnyttet er de samlete ressursene, 	R0, fratrukket 	RMØM	. Den betingete 	
forventningen av disse reservene er gitt implisitt ved: 	 	
 	
Fordi 	RMØM	 er antatt å være uavhengig av 	R0, ser vi at (29) kan skrives:	 	
 	
Men 	er ikke noe annet enn 	, slik at vi ser at (30) kan 	
skrives	 	
 	
Setter vi inn fra (25 og (26) får vi at den 	ubetingete	 forventingen av 	er lik 	
høyresiden i (32) nedenfor	 	
 	
 
 
Det betyr at den 	betingete forventningen	 av 	er 	
 	
Denne ubetingete forventingen av de utvinnbare reservene er lik den betingete 
forventningen av 	, betinget av at 	, multiplisert med 	
sannsynligheten for denne betingingen, dvs sannsynligheten for at 	. 	
Denne ubetingete forventingen (høyresiden i (32)) er: 	 	
 	(34) 	 	 		
0	
0 0	29	
MØM	
MØM MØM MØM MØM	RR	
( ) E R R | R R Pr( R R ) ( R R )g( R )dR	

	
    	 		
00	
0 0	30	
MØM MØM	
MØM MØM MØM MØM	R R R R	
( ) E R R | R R Pr( R R ) R g( R )dR R g( R )dR	

	
    	 0	
00	
MØM	RR	
g( R )dR	

 0	MØM	Pr( R R )	 		
0	
0 0	31	
MØM	
MØM MØM MØM MØM MØM	RR	
( ) E R R | R R Pr( R R ) R g( R )dR R Pr( R R )	

	
     	 0	MØM	RR	 		
		
0	00	00	
00	00	0 0	
32 1	
11	
MØM	MØM MØM	
MØM MØM	MØM	
logR	( ) E R R | R R (	
logR logR	E R ( ( R	
			
	  	   	
	   		
   	      	       0	MØM	RR	 				
0	0	00	0 0	0	
00	
1	
33	
1	
MØM	
MØM MØM MØM	MØM	
logR()	
( ) E R R | R R E R R	logR()	
			
			
  	
   	
 0	MØM	RR	 0	0	MØM	RR	 0	0	MØM	RR	 		00	00	00	
11	MØM MØM	MØM	
logR logR	E R ( ) R ( )		  		
   		   	      

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	21	
 	 	
 
Vi ser at den ubetingete forventningen av utvinnbare reserver, 	, er lik den 	
ubetingete forventing	en av de samlete ressurser multiplisert med en halesannsynlighet 	
i den standardiserte normalfordelingen fratrukket den minste økonomiske mengden 
multiplisert med en annen og lavere halesannsynlighet i den standardiserte 
normalfordelingen.	 	
Vi foreslår at de	t er denne ubetingete forventningen av reservene i (34) som OD bør 	
rapportere inn til RNB. 	 	
Vi ser at den informasjon en trenger for å rapportere denne betingete forventningen er:	 	
- 	Den standardiserte kumulative fordelingsfordelingsfunksjonen, her antatt å 
være standard normal	 	
- 	Geologiske parametere som kan gi anslag på 	og 	 	
- 	Økonomiske parametere som forventet produktpris ved produksjonsslutt og 
dermed den forventete levetiden for produksjonen på feltet, samt 	en parameter 	
som sier hvordan enhetskostnader varierer med ressursmengden.	 	
Det nye her i forhold til hva en nå rapporterer, er det tredje strekpunktet. Det nye er altså 
at en trenger anslag på forventet produktpris og anslag på hvordan enhetskostnaden 
vari	erer med ressursmengden. Har en disse opplysningene kan en beregne 	RMØM	. 	
Sammen med geologiske parametere kan en da beregne den ubetingete forventingen 
av reservene som planlegges produsert	, R	0-RMØM	, betinget av at denne størrelsen er 	
positiv. 	 	
Multipliser	er en den ubetingete forventningen i (34) med prisen 	p, får en et anslag på 	
den forventete verdien av reservene som vil bli produsert, se likning (35). 	 	
Dersom produktprisen også er stokastisk, så ser en at en må ta hensyn til at prisen er 
korrelert med 	. For å beregne verdien av reservene som blir produsert må 	
en da ta hensyn til denne korrelasjonen og regne ut forventingen i (36). Dette er ikke rett 
frem regning. Grunnen er at 	RMØM	 inngår i de kumulative sannsynlighetene i (29). 	
Beregningene kan gjøres ved simuleringer. 	 	
 	
 	
 0	MØM	RR	 0 0 0
1	MØM	
ap	R	a
	 		0 0	35	MØM MØM MØM	( ) pE R R | R R Pr( R R )	   				0 0	36	MØM MØM MØM	( ) E pE R R | R R Pr( R R )	  

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
22	 	 	Vista Analyse	 	
 	
 
 
 	
E(	R0|R0>R	MØM	) 	E(	R0) 	RMØM	 	
R0 	
f(R	0)

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	23	
 	 	
11.	 	Utvidelser av analysen	 	
Mulige utvidelser i forhold til det vi har presentert er:	 	
- 	Usikre fremtidige og 	varierende priser, som i modellen her vil gjøre at levetiden 	
av et felt, T, også blir usikker	 	
- 	Enhetskostnadsfunksjon som ikke er lineær i produksjonen, noe som kan gi 
indre løsninger og varierende produksjon over tid	 	
- 	Enhetskostnadsfunksjon som ikke er line	ær i ressursmengdene som fører til at 	
usikkerheten ikke forsvinner fra alternativkostnaden i utnyttingen av ressursen	 	
- 	Leteaktiviteter i produksjonsperioden og som tar sikte på å redusere 
usikkerheten knyttet til omfanget av ressursene	 	
- 	Andre fordelinger enn	 den log	-normale fordelingen, som f.eks. 	
Gammafordelinger.

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
24	 	 	Vista Analyse	 	
Vedlegg 1. Forventningen og variansen til 	R	0 	
R0 er gitt ved	 	
 	
 	
Variansen til 	R0 er gitt ved	 	
 	
 0	
0	
0 0	
(1) log	
(0, )	
(2) log	
(0,1)	
R	
hvor N
dvs	
R	
hvor N	
	
	
  	
	

 00	
00	
00	
22	0 0	0	22	2	
0	
0	
( ) ( )	( ) ( )	2 2 2 2 2	0	
2	2	0	
()	
( ) tan ,	
1 1 1	(6)	
2 2 2	
(3)	
()	
()	(5)
(4) ( )	
()	
()	
:	
2	
o	
x	
xx	xx
o	
e f x dx	
hvor f x er s dardnormaltettheten da er	
e dx e dx e e dx	
Re	
da er	
Ee	
Ee
E R e
Ee	
x	
fordi	
	
   		
  	
  	

	
  	
		

	
  		   	
  	


  	
	

	
	

  
2200	
20	0	00	0	
22	
2	
0	
2	
0	
(7) ( )
(8) ( )	()	
22	
()	
dvs	
e f x dx e	
og da	
E R e	Ee	e	
x	x	
Ee	
	
		  	
	
	

	

	
	
		
	
 0	
0 0	
20	2	0 0	
2200	2 2 2	00	0 0	
0
0	
22
22	2	
4	2 2 2 2 2	2	2	
2 2 2 2 2	22	
(9) ( ) ( ) [( ) ] [ ( )]
(10) ( ) ( )( )
(11) [( ) ] ( )
(12) ( )
(	
V R V e E e E e	
e e e e
E e e E e e e e
V R e e e e e	
dvs	
  	
  	
	
     	
        	
	       	
		     	
  	
   	
	
	  	
  	
	
  	
   	
2 2 20 0	2	
00	2	)	13) ( ) ( 1) E( ( 1)	V R e e R e	   		   

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
Vista Analyse 	 	 	25	
 	 	
Vedlegg 2. Den 	betingete forventingen 	 	
Den betingede forventningen: 	 	
 	
 
 	 		00	MØM	E R | R R	 		
2	
00	
0	0	0	
0 0	
00	
00
0 0	
2	
14	
1	15	
2	
MØM	MØM	
MØM MØM	
MØM MØM	log R	RR	
log R log R	
( )E R | R R Pr( R R ) R g( R )dR e f ( )d
hvor f (.) er s tan dard normaltettheten,og vi få	r da	
( ) e f ( )d e e f ( )d e exp	
		
			
		
		
   	
		
	
	
  	
			
        	
			
	
	
   	
	
2	
0	
0	
0 0	
00	
00	
20	0	0	
0	
0	
2	2	0	0	
2	2	0	2	00	
2	
1 1 1	16	22	22
1 1 1 1	17	2 2 2	22	
MØM	
MØM MØM
MØM	
log R	
log R log R
log R	
d	
dvs
( ) e exp d e exp ( ) d
eller
( ) e exp ( ) d e exp ( )	
	
		
		
		
		
		
	
	
		   				
     	
	

	
			
   	
			
			
			
	
	
	   	
	
	    	
	0	
0	
20	0	
0	
0	
2	
2	0	2	0 0	0	
0	0	0	
11	18 1	2	2	
19 1	
MØM	
MØM	
log R	
MØM	
log R	
MØM	MØM	
d	
eller	
logR	( ) e exp ( ) d E( R ) (
Fordi ( (.) er sannsynligheten i en s tan drard no	rmalfordeling )	
logR	( ) Pr( R R ) (	
	
		
		
		
	
		    				
	  	
	
	
			
		
			
	
	    			
	
			
		
0	0	0	0 0	
0	
0	
1	
20	
1	
MØM	
MØM	
MØM	
)	
så får vi	
logR(	
( ) E R | R R E( R ) E( R )	
logR()	

	
				  					
			
		

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
26	 	 	Vista Analyse

Økonomiske parametere og forventete verdier av petroleumsressurser og reserver 	 	
28	 	 	Vista Analyse	 	
 	
Vista Analyse AS	 	
Vista 	Analyse AS er et samfunnsfaglig analyseselskap med hovedvekt på 	 	
økonomisk forskning, 	utredning, evaluering og rådgivning. Vi utfører oppdrag	 	
med høy faglig kvalitet, uavhengighet og integritet. Våre sentrale temaområder 	 	
omfatter klima, energi, samferdsel, næringsutvikling, byutvikling og velferd.	 	
 
Våre medarbeidere har meget høy akademisk	 kompetanse og bred erfaring	 	
 inn	ennfor konsulentvirksomhet. Ved behov benytter vi et velutviklet nettverk med 	 	
selskaper og ressurspersoner nasjonalt og internasjonalt. Selskapet er i sin 	 	
helhet eiet av medarbeiderne.	 	
Vista Analyse AS	 	
Meltzersgate 4	 	
0257	 Oslo	 	
 
post@vista	-analyse.no	 	
vista	-analy	se.no